Tìm hiểu về công thức hạ bậc vào giải toán

11/12/2019

 Tìm hiểu về công thức hạ bậc:

Công thức hạ bậc là một trong những loại công thức lượng giác được sử dụng nhiều nhất trong việc giải các bài toán liên quan đến lượng giác, nhất là giải phương trình. Vì vậy học thuộc và biết cách áp dụng các công thức hạ bậc là vô cùng quan trọng không chỉ đối với học sinh mà cả những người giáo viên.

Công thức hạ bậc

  • Công thức hạ bậc là gì?

Hạ bậc có nghĩa là tìm cách để đưa các hàm số lượng giác có bậc cao về bậc thấp hơn.
Dưới đây là những công thức hạ bậc được sử dụng nhiều nhất trong việc giải các bài toán lượng giác:

Công thức hạ bậc đơn:

x=  1-cos⁡( 2x)2

x=  1+cos⁡( 2x)2

1-cos ( 2x) 1+cos ( 2x)

x=  ( x) ( x) = 1+cos⁡( 2x)1-cos⁡( 2x)

x=  3sin x-sin ( 3x)  4

x=  3cos x+cos⁡( 3x) 4

x=  3sin x +sin ( 3x) 3cos x -cos ( 3x)

x=  1cos 4x-4cos 2x+3  8

x=  1cos 4x+4cos 2x +3 8

Công thức hạ bậc toàn cục:

( x) + ( x) = 34 - 14 cos( 4x)

( x) - ( x) = - cos( 2x)

( x) + ( x) = 58 + 38 cos( 4x)

( x) - ( x) = 14 2x + 34 cos( 2x)

Tìm hiểu về công thức hạ bậc

Áp dụng các công thức vào giải toán:

Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, học sinh cần nắm vững các công thức hạ bậc để áp dụng chúng vào giải các bài tập từ thông hiểu, vận dụng đến vận dụng cao. 

Cụ thể học sinh có thể áp dụng công thức hạ bậc để giải các phương trình cơ bản hoặc đưa phương trình từ phức tạp về đơn giản hơn để giải một cách dễ dàng. Ngoài ra, còn áp dụng trong việc chứng minh phương trình lượng giác.

  • Chú ý: tùy vào từng kiểu bài, dạng bài khác nhau mà học sinh cần áp dụng và xử lý công thức hạ bậc cho phù hợp để bài toán trở nên đơn giản nhất.

+ Chẳng hạn đối với các phương trình bậc lẻ cao ( ví dụ bậc 3) người ta sẽ không đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc.

+ Với các nhân tử bậc cao hơn ba ( chẳng hạn như bậc 5,7,…) thì chúng ta phải hạ dần dần.

+ Đặc biệt, công thức hạ bắc vô cùng hữu ích, đạt hiệu quả khi sử dụng trong việc giải các phương trình bậc cao. Nó giúp phương trình ban đầu vô cùng phức tạp, cồng kềnh trở nên đơn giản, dễ thực hiện.

  • Ví dụ cho việc áp dụng công thức hạ bậc vào giải phương trình lượng giác:

( x) = x + ( x)

         ⬄ 1-cos ( 2x) 2 =  1+ ( x) 2 + ( 3x)

⬄ 2( 3x) + ( cos4x + cos2x) = 0

⬄ 2( 3x) + 2cos3x . cosx = 0

⬄ 2cos3x. ( cos3x + cosx) = 0

⬄ 2cos2x. cosx. cos2x = 0

Đến đây ta đã chuyển được một phương trình có thể nói là khá phức tạp thành một phương trình đơn giản, thuộc dạng phương trình cơ bản mà ta chỉ cần tiếp tục giải bình thường.

  • Hoặc là một ví dụ khác để chúng ta thấy rõ vai trò của công thức hạ bậc trong giải phương trình bậc cao:

( x) + ( x) = 12

Với ví dụ này nếu ta không biết đến công thức hạ bậc thì chắc hẳn đó là một bài toán tương đối khó, tương đối phức tạp khi mới nhìn vào. Nhưng nếu học sinh biết áp dụng công thức hạ bậc vào để giải phương trình thì đây lại là một bài toán vô cùng đơn giản.

Áp dụng công thức hạ bậc vào ta có:

⬄ 34 - 14cos4x = 12

⬄ 14cos4x = 14

⬄ cos4x =1

Đến đây ta giải phương trình lượng giác cơ bản.

Cách học thuộc hiệu quả những công thức hạ bậc:

Với một khối lượng công thức dày như vậy. Hơn nữa lại rất phức tạp, cồng kềnh. Do vậy, việc học thuộc công thức hạ bậc đối với học sinh là rất khó. Vậy để học thuộc chúng một cách nhanh nhất cũng như hiệu quả và nhớ lâu nhất thì chúng ta phải làm gì?

Học sinh cần làm nhiều bài tập có áp dụng những công thức hạ bậc đó thay vì ngồi học thuộc chay ( học vẹt). Nếu chúng ta học vẹt thì thời gian mà chúng ta nhớ những công thức đó sẽ không được lâu. Thậm chí có những người quên rất nhanh, nay học mai quên.

Học sinh cần vừa học thuộc kết hợp với vận dụng, thực hành công thức vào bài tập để vừa hiểu công thức sâu, vừa nhớ công thức lâu.

Như vậy, toàn bộ công thức hạ bậc đối với học sinh mà nói, đó là một vũ khí lợi hại, có ích rất lớn trong học tập của học sinh. Do vậy, bản thân mỗi học sinh cần hiểu và nắm vững những công thức này để cải thiện, nâng cao trình độ của bản thân.

>> Xem thêm: Cách học tập môn Toán